Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją stałą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, zachodzi równość f(x₁)=f(x₂).

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ <0,+∞).   

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Suma dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem suma x₁+x₂ jest liczbą nieujemną.

Iloczyn liczby 0,5, liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną, zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze <0,+∞).

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ <0,+∞).  

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Suma dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem suma x₁+x₂ jest liczbą nieujemną.

Iloczyn liczby -1, liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze <0,+∞).

c) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,0>.  

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, zatem suma x₁+x₂ jest liczbą ujemną.

Iloczyn liczby -5 i dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze (-∞,0>.

d) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,0>.  

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną, zatem suma x₁+x₂ jest liczbą ujemną.

Iloczyn liczby 3 i dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze (-∞,0>.