pewna liczba całkowita

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   więc:

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   więc:

Liczba   jest nieparzysta, bo w dzieleniu przez   daje resztę   

Możliwe reszty z dzielenia przez   to:   

Natomiast możliwe reszty z dzielenia liczby nieparzystej przez   to:   

Rozpatrujemy zatem liczby:

 gdzie   

Zbadajmy, jaka jest reszta z dzielenia każdej z wymienionych liczb przez   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

W ten sposób wyeliminowaliśmy część możliwości. 

Pozostały nam do wyboru:   i   

Wyznaczamy resztę z dzielenia tych liczb przez   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

Wynika stąd, że

 gdzie   

Odp. Zatem reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa