Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Uwaga: Z powyższych definicji wynika, że  gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, takich, że x1<x2, wyrażenie f(x₁)-f(x₂) jest jest ujemne, to funkcja jest rosnąca. Natomiast, gdy jest dodatnie, funkcja jest malejąca. [Aby otrzymać te spostrzeżenia, wystarczy przenieść f(x₂) na lewą stronę nierówności w definicji.]

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞, 0>.

Ponadto mamy:

Łatwo zauważyć, że suma x₁+x₂ to suma liczb ujemnych, zatem jest to liczba ujemna.

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Iloczyn liczby 2 i dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem otrzymujemy:

Funkcja f jest malejąca w danym przedziale.

b)

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (0, +∞).

Ponadto mamy:

Łatwo zauważyć, że iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, zatem w mianowniku jest liczba dodatnia.

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁ i x₂ jest liczbą ujemną, zatem w liczniku jest liczba ujemna.

Iloraz liczby ujemnej przez liczbę dodatnią jest liczbą ujemną.

Zatem   

Zatem otrzymujemy:

Funkcja f jest rosnąca w danym przedziale.