Założenie:

√11 - dana liczba rzeczywista

Teza:

√11 jest liczbą niewymierną

Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √11 jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne p, q, gdzie q≠0, dla których:

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna 11٠q٠q ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę 11, natomiast równa jej liczba p٠p w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę 11. Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √11 jest liczbą niewymierną".