W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości  ,

przeciwprostokątna ma długość  .  

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy:

Wykorzystujemy powyższe informacje dla trójkąta  i obliczamy długość przekątnej   

Przekątna  ma długość .

Zauważmy, że możliwe są dwa przypadki ułożenia tego trójkąta: 

1. Punkty  i   leżą na bokach  i     

Taka sytuacja będzie miała miejsce, gdy wysokość trójkąta  będzie krótsza od połowy

długości przekątnej tego kwadratu, czyli .

Nie możemy rozważać przypadku gdy , ponieważ wtedy punkty  i  pokryją się z punktem .

Rozumowanie nie zmieni się gdy  będzie równe  (musimy rozważyć wszystkie możliwe przypadki), dlatego bierzemy pod uwagę

.

2. Punkty  i   leżą na bokach  i 

Będzie tak dla .

Przedział jest lewostronnie otwarty, ponieważ zdarzenie, gdy  zawarte jest w przypadku 1.

i prawostronnie otwarty, ponieważ gdyby   było równe , to punkty  i  pokryłyby się z punktem .

Przypomnijmy, że pole trójkąta o boku długości  i wysokości  opuszczonej na ten bok obliczamy ze wzoru:

Przypadek 1.   

Do obliczenia pola trójkąta  o wysokości   potrzebna nam będzie długość jego podstawy .

Wiemy, że trójkąt  jest równoramienny i jego wysokość  zawarta jest w przekątnej .

Trójkąt   jest przystający (taki sam) do trójkąta  - trójkąty te są równoramienne i prostokątne

(ich kąty mają miary  ,  ,  , bo każdy kąt w kwadracie ma  , przekątna   dzieli kąt   

na dwa kąty, które mają po  , a odcinek   jest prostopadły do przekątnej  ,

dlatego kąty   i   są proste).

Wiemy też, że odcinek  jest wysokością trójkąta, czyli

.

Zatem .

Pole trójkąta  jako funkcja wysokości  

Rysujemy wykres funkcji  ,  pamiętając, ze przedział   jest jej dziedziną. 

Obliczmy wartości dla kilku argumentów:

  (punkt ten nie należy do dziedziny, dlatego zostawimy niezamalowane kółeczko)

Dla  funkcja przyjmuje wartość największą.

Przypadek 2.   

Do obliczenia pola trójkąta  o wysokości   potrzebna nam będzie długość jego podstawy .

Wiemy, że trójkąt  jest równoramienny i jego wysokość  zawarta jest w przekątnej .

Trójkąt   jest przystający do trójkąta  - trójkąty te są równoramienne i prostokątne

(ich kąty mają miary  ,  ,  , bo każdy kąt w kwadracie ma  , przekątna   dzieli kąt   

na dwa kąty, które mają po  , a odcinek   jest prostopadły do przekątnej  ,

dlatego kąty   i   są proste).

.

Wiemy już, że długość połowy podstawy trójkąta  jest równa długości odcinka  .

.

Długość całej podstawy trójkąta  wynosi

.

Pole trójkąta  jako funkcja wysokości  

Aby narysować wykres funkcji, obliczmy wartości dla kilku argumentów:

Ramiona paraboli skierowane są do dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny.

Funkcja nie przyjmuje w swojej dziedzinie wartości największej

Największe pole dla .

Jest tak w przypadku, gdy punkty  i  pokrywają się z punktami  i .