a)

Założenie:

√7 - dana liczba rzeczywista

Teza:

√7 jest liczbą niewymierną

Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √7 jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne p, q, gdzie q≠0, dla których:

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna 7٠q٠q ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę "siódemek", natomiast równa jej liczba p٠p w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę "siódemek". Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √7 jest liczbą niewymierną".

b) 

Założenie:

√p - dana liczba rzeczywista

p - liczba pierwsza

Teza:

√p jest liczbą niewymierną

Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √p jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne a, b, gdzie b≠0, dla których:

Liczbę p nie da się rozłożyć na czynniki pierwsze, ponieważ jest to liczba pierwsza

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna p٠b٠b ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę "p", natomiast równa jej liczba a٠a w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę "p". Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √p jest liczbą niewymierną".