Założenie:

 jest liczbą niewymierną

Tezy:

 jest liczbą niewymierną

 jest liczbą niewymierną

 jest liczbą niewymierną

Dowód (nie wprost):

Ad.   

Załóżmy, że liczba   jest liczbą wymierną. 

Zatem, na mocy definicji liczby wymiernej, istnieją takie liczby całkowite   gdzie   dla których 

A stąd:

Zauważmy, że liczba   jest liczbą wymierną, bo różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych

jest liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem   nie może

być równa liczbie wymiernej   

Oznacza to, że liczba   jest liczbą niewymierną, co należało dowieść.

Ad.   

Załóżmy, że liczba   jest liczbą wymierną. 

Zatem, na mocy definicji liczby wymiernej, istnieją takie liczby całkowite   gdzie   dla których 

A stąd:

Zauważmy, że liczba   jest liczbą wymierną, bo różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych

jest liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem   nie może

być równa liczbie wymiernej   

Oznacza to, że liczba   jest liczbą niewymierną, co należało dowieść.

Ad.   

Załóżmy, że liczba   jest liczbą wymierną. 

Zatem, na mocy definicji liczby wymiernej, istnieją takie liczby całkowite   gdzie   dla których 

A stąd:

Zauważmy, że liczba   jest liczbą wymierną, bo różnica i iloraz liczb wymiernych

jest liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem   nie może

być równa liczbie wymiernej   

Oznacza to, że liczba   jest liczbą niewymierną, co należało dowieść.