Założenie:

 jest liczbą niewymierną 

Założenie:

 jest liczbą niewymierną 

 jest liczbą niewymierną 

Dowód (nie wprost):

Ad.   

Załóżmy, że liczba   jest liczbą wymierną. 

Zatem, na mocy definicji liczby wymiernej, istnieją takie liczby całkowite    gdzie   dla których

A stąd:

Zauważmy, że liczba   jest liczbą wymierną, bo suma, iloczyn i iloraz liczb wymiernych

jest liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem   ponieważ liczba niewymierna   nie może być równa

liczbie wymiernej   

Oznacza to, że liczba   jest liczbą niewymierną, co należało dowieść.

Ad.   

Załóżmy, że liczba   jest liczbą wymierną. 

Zatem, na mocy definicji liczby wymiernej, istnieją takie liczby całkowite    gdzie   dla których

A stąd:

Zauważmy, że liczba   jest liczbą wymierną, bo suma, różnica i iloraz liczb wymiernych jest

liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy więc sprzeczność z założeniem   ponieważ liczba niewymierna   nie może być równa

liczbie wymiernej   

Oznacza to, że liczba   jest liczbą niewymierną, co należało dowieść.