Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją stałą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, zachodzi równość f(x₁)=f(x₂).

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,0).   

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą nieujemną.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze (-∞,0).

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (0,+oo).   

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą nieujemną.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze (0,+∞).

c) Funkcja f nie jest rosnąca w zbiorze R-{0}, ponieważ weźmy:

Zatem okazuje się, że:

Zatem funkcja f nie jest rosnąca w zbiorze R-{0}.

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją stałą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, zachodzi równość f(x₁)=f(x₂).

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,0).   

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą nieujemną.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze (-∞,0).

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (0,+oo).   

Ponadto mamy:   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą nieujemną.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze (0,+∞).

c) Funkcja f nie jest rosnąca w zbiorze R-{0}, ponieważ weźmy:

Zatem okazuje się, że:

Zatem funkcja f nie jest rosnąca w zbiorze R-{0}.