Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją stałą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, zachodzi równość f(x₁)=f(x₂).

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

a)

Wykażemy, że funkcja jest rosnąca w swojej dziedzinie.

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ <-3,+∞).   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁+x₂+6 jest liczbą dodatnią.

Różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Iloczyn liczby dodatniej i liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest rosnąca w zbiorze <-3,+∞).

b)

Wykażemy, że funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie.

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (0,+∞).   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Mianownik jest liczbą dodatnią.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze (0,+∞).

c)

Wykażemy, że funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie.

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,4>.   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną, zatem licznik jest liczbą dodatnią.

Mianownik jest liczbą dodatnią.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze (-∞,4>.

d)

Wykażemy, że funkcja jest malejąca w swojej dziedzinie.

Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ <-2,+∞).   

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₁-x₂ jest liczbą ujemną.

Iloczyn liczby -4 i liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.

Zatem otrzymujemy:

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze <-oo,0).