Założenie:

 dwie dowolne liczby niepodzielne przez   

Teza:

Dowód:

Zauważmy, ze jeżeli liczby   i   są niepodzielne przez   

to każda z nich w dzieleniu przez   daje resztę   lub   

Należy więc rozważyć trzy przypadki:

 Obie liczby w dzieleniu przez   dają resztę   

 Obie liczby w dzieleniu przez   dają resztę   

 Jedna z liczb w dzieleniu przez   daje resztę   a druga - resztę   

Przypadek   

Obie liczby w dzieleniu przez   dają resztę   więc możemy zapisać je następująco:

gdzie   

Wówczas:

Przedstawiliśmy sumę kwadratów liczba   i    w postaci   

Taki zapis oznacza, że reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

co należało dowieść.

Przypadek   

Obie liczby w dzieleniu przez   dają resztę   więc możemy zapisać je następująco:

gdzie   

Wówczas:

Przedstawiliśmy sumę kwadratów liczba   i    w postaci   

Taki zapis oznacza, że reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

co należało dowieść.

Przypadek   

Jedna z liczb w dzieleniu przez   daje resztę   a druga - resztę    więc możemy zapisać je następująco:

gdzie   

Wówczas:

Przedstawiliśmy sumę kwadratów liczba   i    w postaci   

Taki zapis oznacza, że reszta z dzielenia liczby   przez   jest równa   

co należało dowieść.