Odpowiedź:
Zacznijmy od wykonania rysunku:
Wyznaczamy współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach i
Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników
-------------------------------
.
Wyznaczamy dla
.
Punkt przecięcia podanych prostych ma współrzędne .
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt o współrzędnych .
Dwie proste o równaniach kierunkowych:
i
są prosopadłe, gdy spełniają warunek
.
Równanie prostej przekształcamy do postaci kanonicznej
.
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej jest równy , wtedy
,
zatem prosta ma równanie
.
Prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych , więc
.
Równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt :
.
Wyznaczamy współrzędne kolejnego wierzchołka prostokąta.
.
Dla wyznaczamy
.
Współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach i :
.
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt o współrzędnych .
Równanie prostej przekształcamy do postaci kanonicznej
.
Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej jest równy , wtedy
,
zatem prosta ma równanie
.
Prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych , więc
.
Równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez punkt :
.
Wyznaczamy współrzędne czwartego wierzchołka prostokąta.
Dla wyznaczamy
.
Współrzędne punktu przecięcia prostych o równaniach i :
.
Odległość między punktami i obliczamy ze wzoru
.
Obliczamy długości boków prostokąta o wierzchołkach w punktach , , , .
Odległość między punktem i :
.
Odległość między punktem i :
.
Odległość między punktem i :
.
Odległość między punktem i :
.
Wszystkie boki są równej długości.
Obliczamy długości przekątnych prostokąta o wierzchołkach w punktach , , , .
Odległość między punktem i :
.
Odległość między punktem i :
.
Przekątne są równe.
Prostokąt o wierzchołkach w punktach , , , jest kwadratem.
Środkiem symetrii kwadratu jest punkt przecięcia przekątnych.
Przekątne w kwadracie połowią się.
Współrzędne środka odcinka obliczamy ze wzoru:
.
Wyznaczamy środek odcinka o końcach w punktach i
.
Środkiem symetrii tego kwadratu jest punkt o współrzędnych .
