Odpowiedź:
a) Rysujemy dowolny trójkąt i prowadzimy środkową do jednego z boków.
Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.
Środkowa CD dzieli bok AB na dwie równe części.
Wysokość poprowadzona z wierzchołka C (odcinek CE) jest zarówno wysokością trójkąta ADC (poprowadzoną na przedłużenie podstawy AD), jak i wysokością trójkąta DBC (poprowadzoną do podstawy DB).
Mamy więc:
Zatem:
Pokazaliśmy, że środkowa trójkąta dzieli go na dwa trójkąty o równych polach.
b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.
Środkowa CD dzieli bok AB na dwie równe części.
Wysokość poprowadzona z punktu E (środek odcinka CD) jest zarówno wysokością trójkąta ADE (poprowadzoną na przedłużenie podstawy AD), jak i wysokością trójkąta DBE (poprowadzoną do podstawy DB).
Mamy więc:
Zatem:
Przyjmijmy teraz oznaczenia jak na poniższym rysunku.
Punkt E jest środkiem odcinka CD. Zatem:
Zauważmy, że wysokość h1 jest wysokością zarówno trójkąta AEC (opuszczoną na przedłużenie podstawy EC) jak i wysokością trójkąta ADE (opuszczoną na przedłużenie podstawy DE).
Mamy więc:
Zatem:
Zauważmy, że wysokość h2 jest wysokością zarówno trójkąta CEB (opuszczoną na przedłużenie podstawy CE) jak i wysokością trójkąta EDB (opuszczoną na podstawę ED).
Mamy więc:
Zatem:
Popatrzmy teraz na równania oznaczone .
Skoro pole trójkąta ADE jest równe polu trójkąta DBE i polu trójkąta AEC, to pole trójkąta DBE jest także równe polu trójkąta AEC.
Pole trójkąta DBE jest dodatkowo równe polu trójkąta CEB.
Oznacza to, że pola tych czterech trójkątów są równe.
Pokazaliśmy, że środkowa oraz odcinki łączące jej środek z wierzchołkami dzielą trójkąt na cztery trójkąty o równych polach.
