Zacznijmy od przykładu i poszukajmy jakiejś liczby naturalnej, która przy dzieleniu przez   daje resztę  ,

np.  .

Liczbę taką można przedstawić w postaci

 , 

gdzie   jest szukaną liczbą, a   jest dowolną liczbą naturalną (bo   jest liczbą naturalną).

Następną liczbą naturalną, która przy dzieleniu przez   daje resztę  , jest liczba o   większa od  , czyli 

 .

Suma kwadratów tych liczb jest równa  

 .

Wyznaczamy  

  jest liczbą naturalną, więc

 .

Wyznaczamy  

oraz   

 .

Szukane liczby to:   i  .